MATEMÁTICAS APLICADAS
MILENA
PATRICIA PINZÓN BELTRAN
JUAN DAVID
CASTILLO CABALLERO
UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
FACULTAD
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ECONOMICAS Y CONTABLES
ADMINISTRACION DE EMPRESAS SEMESTRE 2
DOCENTE: HUGO ANTONIO LOPEZ
5 DE
JUNIO DE
2014
FUSAGASUGA
TABLA DE
CONTENIDO
INTRODUCCION
OBJETIVOS
JUSTIFICACION
1 SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
1.1 método de
sustitución
1.2 método de
igualación
1.3 método de reducción
1.4 sistema de
tres ecuaciones con
tres incógnitas
1.5 método de
Gauss
1.6 método
de Cramer
1.7 ejercicios
de aplicación
2 FUNCIÓN LINEAL
2.1 pendiente
2.2 ecuación
general de la forma
punto –pendiente
2.3 rectas paralelas
2.4 rectas
perpendiculares
2.5 ejemplos
2.6 ejercicios de
aplicación propuestos
3 FUNCIÓN CUADRÁTICA
3.1 características
3.2 ejemplos
3.3 ejercicios de
aplicación propuestos
4 FUNCIÓN
EXPONENCIAL
4.1 propiedades
4.2 ejemplos
4.3 ejercicios de
aplicación propuestos
5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
5.1 ejemplos
5.2 ejercicios
de aplicación propuestos
6 LIMITES
6.1 limites laterales
6.2 ejemplos
7 INCREMENTO DE
UNA FUNCIÓN
8 DERIVADAS
8.1 reglas de derivación
8.2 Ejemplos
8.3 problemas de
aplicación propuestos
INTRODUCCIÓN
Matemáticas Aplicadas es una
propuesta moderna de estudios universitarios, que sostiene que el gusto y el
talento para las matemáticas no limitan las aspiraciones de crecimiento
profesional y social en los jóvenes, sino por el contrario, son un escaso
y valioso factor de competitividad en un mundo cada vez más dependiente del
desarrollo científico y tecnológico.
El término matemáticas aplicadas se
refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas
tales como sistemas
de ecuaciones lineales , función
lineal , función cuadrática ,
función exponencial , función logarítmica , limites y todo lo concerniente a derivadas , que pueden ser utilizados en el análisis o resolución
de problemas pertenecientes al
área de las ciencias básicas o aplicadas entre
ellas encontramos
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Adquirir habilidad y destreza en el planteamiento
y los
diversos métodos y herramientas
matemáticas para
solución de problemas cotidianos.
OBJETIVOS
- Reconocer un sistema de ecuaciones ya sea de dos ecuaciones con dos incógnitas o de tres ecuaciones con tres incógnitas
- Solucionar problemas de la vida real mediante el uso de métodos de solución de ecuaciones lineales.
- Encontrar la pendiente de una recta que es paralela o perpendicular a otra.
- Dados un punto y una recta perpendicular o paralela a una recta desconocida , escribir la ecuación de la recta desconocida.
- Solucionar problemas aplicados a la administración aplicando las funciones ( función cuadrática , función exponencial , función logarítmica)
- Determinar el límite de f(x) cuando x tiende a c
- Conocer las diversas reglas de derivación para así mismo dar solución a diversos problemas de la vida cotidiana.
JUSTIFICACIÓN
La razón por
la cual de
desarrolla este trabajo es
para permitirle al estudiante revisar sus
bases y fundamentos matemáticos, buscando
una nivelación de los conceptos
básicos indispensables para emplearlos en
las demás actividades académicas que requieren de
la matemática como herramienta para su
estructuración y comprensión.
El estudiante
en este nivel debe hacer conciencia,
que realiza una carrera profesional, la
cual requiere de un amplio dominio de
la matemática y que sus deficiencias
deben ser superadas de una u otra
forma, mediante la
consulta permanente de
textos , solución de
talleres , discusión en clase ,
retroalimentación y
cualquier otro mecanismo
que le permita la apropiación ,
relación y utilización
de los conocimientos.
SISTEMA DE ECUACIONES
Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones
comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el
conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.
Características de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:
Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:
v Existe únicamente una solución.
v Existe una cantidad
infinita de soluciones.
v No existe solución.
Un sistema es consistente si tiene por lo
menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un
sistema es inconsistente si
carece de solución.
Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
v
Igualación
v
Reducción
v
Gauss
vCramer
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
El método de sustitución consiste
en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la
que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación
por su valor.
EJEMPLO
1
|
EJEMPLO
2
|
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:
3(8 – 2y) – 4y
= – 6
Operando:
24 − 6y −
4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
− 10y = − 30
se resuelve :
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
x + 2(3) =
8
x + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3
|
Primero en una de las
ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la
primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x
y = 11 - 3x
Se sustituye en la
otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una
"y" colocaremos "(11 – 3x)".
5x - (11-3x) = 13
Ahora tenemos una
ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente
5x – 11 + 3y = 13
5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x = 3
Ya conocido el valor
de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos
a partir de la primera ecuación del sistema : y = 11 - 3x
y = 11 - 9 y = 2
Así la solución al
sistema de ecuaciones propuesto será
x=3 e
y=2
|
MÉTODO DE IGUALACIÓN
El método de igualación se puede entender como un
caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma
incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte
derecha de ambas ecuaciones.
EJEMPLO 1
|
EJEMPLO 2
|
Despejamos x en la primera ecuación:
Despejamos x en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
x = 3 +
2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema
x = 1, y = –1
|
Lo primero que haremos
será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Igualamos ambas
ecuaciones
11 - 3x = -13 + 5x
8x = 24 x = 3
Este valor de x lo
sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y
y = 11 - 9
y = 2 |
MÉTODO DE REDUCCIÓN
El procedimiento, consiste en transformar una de las
ecuaciones (generalmente, mediante productos),
de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca
con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas
ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita,
obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de
resolución es simple.
EJEMPLO
1
|
EJEMPLO
2
|
No tenemos más que
multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la
incógnita Y. Al multiplicar, dicha ecuación nos
queda así:
 -2(2x + 3y) - 4x - 6y = -10
Si sumamos esta
ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación
donde la incógnita Y ha sido reducida y que, en este
caso, nos da directamente el valor de la incógnita X:
El siguiente paso
consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita X en cualquiera de las ecuaciones
donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de Y es igual a:
 |
Sumaremos
miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es
eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así no más
se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los
términos, para que se elimine uno:
Para este ejemplo
eliminamos "y"
y sustituyendo este
valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos
y = 2
|
SISTEMAS DE
ECUACIONES DE 3 X 3
METODO
DE GAUSS
Este método consiste en utilizar
el método de
reducción de manera
que en cada
ecuación tengamos una incógnita
menos que en la
ecuación precedente.
1. ponemos
como primera ecuación
la que tenga
cómo coeficiente de x : 1 ó
-1, en
caso de que no fuera
posible lo haremos
con y o z , cambiando el
orden de las incógnitas.
2. Hacemos
la reducción con la primera y
segunda ecuación , para eliminar
el termino en x de
la segunda ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el
resultado de la operación.
3. Hacemos los
mismo con la
primera y la
tercera ecuación , para eliminar
el termino en x.
4. Tomamos
las ecuaciones 2 y 3 ,
transformadas , para hacer reducción y
eliminar el termino en y
5. Obtenemos el
sistema equivalente escalonado
6. Encontrar las soluciones.
EJEMPLO
|
 1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z , cambiando el orden de las incógnitas 
2.
Hacemos reducción
con la 1ª
y 2ª ecuación para
eliminar el termino en
x de la
2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de
la operación.
E'2 =
E2 −3E1
3.
Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación,
para eliminar el término en x.
4. E'3 =
E3 –
5E1
Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y
E''3 =
E'3 −
2E'2
5.
Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
 6. Encontrar las soluciones
Z:
1
-y + 4 ·1 = −2
y : 6
x + 6 −1 = 1
x: -4
|
REGLA
DE CRAMER
La regla de
Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la
solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más
de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta
excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices
y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas
ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más
eficiente que la eliminación
gaussiana para matrices pequeñas,
particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
SISTEMA DE 2
ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS
|
SISTEMA
DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCOGNITAS
|
·
Para la resolución de un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
·
Lo representamos en forma de matrices:
·
Entonces, X e Y pueden ser encontradas con la
regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente
manera:
 |
·
Que representadas en forma de matriz es:
· X , Y , Z pueden ser encontradas como
sigue:
 |
EJEMPLOS DE PROBLEMAS APLICADOS A LA ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMÍA CON SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
|
|||
1.
Si las ecuaciones de la demanda y la oferta son,
respectivamente,
D: 3p + 5x
= 22 (3)
S: 2p -3x = 2x (4)
Determine los valores de x y p en
el punto de equilibrio del mercado.
SOLUCIÓN
Las
ecuaciones (3) y (4) forman un sistema de ecuaciones lineales en las
variables x y p. Resolvamos este sistema por el método de
eliminación. Multiplicando ambos lados de la ecuación (3) por 3 y los dos
miembros de la ecuación (4) por 5, obtenemos
9p
+15x = 66
10p
- 15x =10
Enseguida sumamos estas dos ecuaciones y
simplificamos.
9p
+15x + 10p - 15x =66 + 10
19p = 76
Así
que, p =4. Sustituyendo este valor de p en la ecuación (3),
obtenemos
3(4)
+ 5x = 22
Por tanto, x =2. El punto de
equilibrio del mercado ocurre cuando p =4 y x = 2.
|
|||
2.
(Punto de equilibrio
del mercado) La
demanda para los bienes producidos
por
una industria están dados por la ecuación p2 + x2
= 169, en donde p es
el
precio y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p =x
+ 7. ¿Cuáles
son
el precio y la cantidad del punto de equilibrio?
SOLUCIÓN
El
precio y la cantidad del punto de equilibrio son los valores positivos
de
p y x que satisfacen a la vez las ecuaciones de la oferta y la
demanda.
p2 + x2 =
169 (5)
p = x + 7 (6)
Sustituyendo el valor de p de la
ecuación (6) en la ecuación (5) y simplificando, resulta:
(x
+7)2 + x2 =169
2x2
+14x + 49 = 169
x2 +7x- 60 = 0
Factorizando, encontramos que
(x
+12)(x - 5)= 0
lo
cual da x= -12 o 5. El valor negativo de x es inadmisible, de
modo que x = 5.
Sustituyendo
x =5 en la ecuación (6),
p
=5
+ 7 =12
En consecuencia, el precio de equilibrio es
12 y la cantidad de equilibrio es 5.
|
|||
3.
4 barras de pan y 6 litros de leche cuestan 6,8 € ; 3 barras
de pan y 4 litros de leche cuestan
4,7 € .¿Cuánto vale una
barra de pan? ¿Cuánto vale
un litro de leche?
X= barra de pan
Y= litro de leche
4X + 6Y = 6,8 € 4X + 6(0,8)= 6,8
3X + 4Y = 4,7€ 4X + 4,8 = 6,8
4X-6,8 = - 4,8
4X + 6Y = 6,8 € (-3) X = 2/ 4
3X + 4Y = 4,7€ (4) X= 0,5
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|||
4.
Una persona
compra un equipo de música y un ordenador por 2,500 €. Después de algún
tiempo los vende por 2157,50€. Con el equipo de música
perdió el 10% de su valor, y con el
ordenador el 15%. ¿cuánto
le costó cada uno?
X= equipo de música
Y=ordenador
 |
|||
5.
(Mezclas) La tienda El Sol,
que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $0.70 la
libra y almendras a $1.60 la libra. Al final de un mes, el propietario se
entera de que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar
cacahuates con almendras para producir
una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. ¿Cuántas libras de
cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos
ingresos?
SOLUCIÓN
Sea
x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las
libras correspondientes de almendras.
Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras,
x
+y
= 45
El
ingreso de x libras de cacahuates a $0.70 la libra es de 0.7x dólares
y el ingreso de y libras de almendras a $1.60 la libra es de 1.6y dólares.
El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1.00 por libra será de $45.
Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas
separadas, tenemos la siguiente ecuación:
Ingreso de los cacahuates +Ingreso de las
almendras =Ingreso de la mezcla
0.7x
+ 1.6y =45
7x + 16y = 450
De esta manera, llegamos al sistema de
ecuaciones lineales siguiente:
x
+ y
=45
x +16y = 450
De
la primera ecuación, obtenemos que x = 45 - y. Luego
sustituimos este valor de
x en la ecuación de abajo y despejamos
y.
7(45
- y) + 16y =450
315
- 7y + 16y = 450
9y
=450 -315 =135
y = 15
Por
tanto, x = 45 - y = 45 - 15 = 30.
En
consecuencia, 30 libras de cacahuates deberán mezclarse con 15 libras de
almendras para formar la
mezcla.
|
|||
6. Se
reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los
hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También
se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear
y resolver el sistema de ecuaciones.
X=
número de hombres
Y=
número de mujeres
Z=
número de niños
  |
EJERCICIOS PROPUESTOS
APLICADOS A LA ADMINISTRACIÓN Y
LA
1.
El
precio del boleto para un concierto es de 225 pesos para público en general, y
150 pesos para estudiantes. La taquilla recaudó 77,775 pesos por la venta de
450 boletos. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
Donde:
·
x
es el número de boletos vendidos a público en general
·
y es el número de boletos vendidos a
estudiantes
2.
Un
comerciante de ganado compró 1000 reses
a $150.000 cada una, vendió 400
de ellas obteniendo una ganancia del
25%. ¿ A qué precio deberá vender
las restantes 600 reses, si la
utilidad promedio del
lote completo ha de ser el 30%?
3. Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $29.000.000. Vende
uno con una ganancia del 10% y
el otro perdiendo el 5% y
aún obtuvo una ganancia de $1.850.000.
por la transacción completa.
Encuentre el costo de cada automóvil.
4.
En un
supermercado un cliente
compra 5 paquetes de un
producto A , 4 de B y 3
de C , pagando en total 53 euros . otro cliente compra dos
paquetes de A , 7 de B y 4 de
C , gastando 46 euros . un tercer
cliente compra 8 de A
, 13 de
B y 5 de C
, pagando lo que
los otros dos
juntos . ¿cuánto vale cada
producto?
5.
Una empresa de
Plásticos, tiene ingresos anuales por un
valor de $120.000.000, sus costos fijos
mensuales son $4.000.000 y el costo
por
producir cada bolsa plástica es de $50.
- ¿Cuántas bolsas produce mensualmente, si su gasto total es de $6.500.000? B.¿A qué precio está vendiendo sus bolsas?
- ¿Cuánto es la utilidad?
- ¿ A qué precio debe vender las bolsas para no disminuir la producción y alcanzar un punto de equilibrio?
6.
Un fabricante produce
diario 150 artículos que vende al
doble del costo menos $1000 ¿Cuánto
es el costo de producir cada artículo,
si sus utilidades son de $360.000?
7. El fabricante de cierto producto puede vender
todo lo que produce al precio de $20.000 cada
uno. Le cuesta $12.500 producir cada
artículo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7.000.000 al mes con el fin de operar la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $5.000.000 al mes.
8. Sabiendo que la función de
oferta de lápices automáticos marca
"Profiti" está dada por: q = 2 p 5 y que la demanda de los mismos es lineal y tiene como regla de definición: q = 4/3 p + 20/3 donde p representa el
precio (en $) de los lápices y q la cantidad de los mismos (en miles de unidades). Hallar analíticamente las
coordenadas del punto de equilibrio.
9.Una
empresa que tiene costos fijos mensuales
de $4.800.000,por
arrendamiento y salario de los ejecutivos, que se deben pagar sin importar
el nivel de producción, el cual tiene un costo variable mensual de $800, si
su producción semanal es de 125 unidades.
- ¿Cuántos son sus gastos mensuales?
- ¿Cuánto debe ser el precio de venta para alcanzar un punto de equilibrio?
- ¿Cuánto debe producir para tener una utilidad semanal de $500.000?.
10. En
un supermercado se ofrece
dos lotes formados
por distintas cantidades de los
mismos productos .El primer
lote está formado por
una botella de cerveza , tres
bolsas de cacahuates y
siete vasos y su
precio es de 5 euros. El segundo lote
está compuesto por
una botella de cerveza ,
cuatro bolsas de cacahuates y
diez vasos y su
precio es de seis euros. Con
estos datos , ¿
se podría averiguar
cuánto debería valer un
lote formado por
una botella de cerveza , una bolsa de
cacahuates y un
vaso?. Justificar la
respuesta.
EJEMPLO
Encuentre la pendiente de la línea que
une los puntos (1, _3) y (3, 7).
SOLUCIÓN Usando la ecuación (1), la pendiente
es
FORMA PUNTO-PENDIENTE
Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos
proporciona la pendiente de
una recta y las coordenadas de un punto en ella.
La forma
punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como
En ésta
ecuación, m es la
pendiente y (x1, y1) son las coordenadas
del punto.
EJEMPLO
Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente
de
 
Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos.
 Que es la ecuación de la recta. |
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dos rectas con pendientes m1
y m2 son paralelas si m1 = m2.
Dos rectas son perpendiculares si m1m2= -1.
Esto es,
Dos
rectas paralelas tienen pendientes
iguales
El producto de las
pendientes de dos
rectas perpendiculares es
igual a -1
EJEMPLOS DE RECTAS
PARALELAS Y PERPENDICULARES
RECTA PERPENDICULAR
|
RECTA PARALELA
|
 |
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EJEMPLOS DE PROBLEMAS APLICADOS
A LA ADMINISTRACIÓN Y LA
(Modelo de costo lineal)
|
El costo variable
de procesar un kilo de granos de café es de 50¢ y los costos fijos por día
son de $300.
a) Dé la ecuación de
costo lineal y dibuje su gráfica.
b) Determine el
costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día.
SOLUCIÓN
a) Si yc
representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de
café
por día, se sigue
que de acuerdo con el modelo lineal, yc
= mc + b
en donde m representa el costo
variable por unidad y b es el costo fijo. En nuestro caso, m = 50¢ = $0.50 y b =
$300. Por tanto,
yc = 0.5x + 300
Con la finalidad de
dibujar la gráfica de la ecuación (2), primero encontramos dos
puntos
en ella.
Haciendo x =
0 en la ecuación (2), tenemos que y =300; haciendo x = 200
en la ecuación (2),
tenemos que yc =0.5(200) + 300 =400. De modo que dos puntos
que satisfacen la ecuación de costo (2) son (0, 300) y (200, 400).
Graficando estos dos puntos y uniéndolos mediante una
línea recta, obtenemos la gráfica que
aparece en la parte inferior.
Nótese que la porción relevante de la gráfica está situada por completo en el primer cuadrante porque x
y yc no pueden ser cantidades negativas.
b) Sustituyendo x
= 1000 en la ecuación (2), obtenemos
yc =0.5(1000) +300 =
800
En
consecuencia, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día seráde $800.
|
(Modelo de costos)
|
El costo de
fabricar 10 máquinas de escribir al día
es de $350,
mientras que cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día.
Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo
total yc de producir x máquinas de escribir al día .
Solución Se nos han dado los
puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica
de un modelo de
costo lineal. La pendiente de la línea que une estos dos puntos
es
Usando la fórmula
punto-pendiente, advertimos que la ecuación requerida de la línea
recta (del modelo
de costo lineal) con pendiente m =25 y que pasa por el punto
(10, 350) es
y - y1 0 m(x
- x1)
yc -350 =25(x -10)
=25x - 250
es decir,
yc = 25x +100
|
(Demanda)
|
Un comerciante
puede vender 20 rasuradoras eléctricas
al día al precio de
$25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a
cada rasuradora
eléctrica. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
Solución Considerando la
cantidad x demandada como la abscisa (o coordenada x)
y el precio p por
unidad como la ordenada (o coordenada y) los dos puntos sobre la
curva
de demanda tienen coordenadas.
x = 20, p =25
y x =30, p = 20
De modo que los puntos
son (20, 25) y (30, 20). Dado que la ecuación de demanda
es
lineal, está dada por la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos
(20,
25) y (30, 20). La pendiente de la línea que une estos puntos es
Por la fórmula
punto-pendiente, la ecuación de la línea que pasa por (20, 25) con
pendiente
m= -0.5 es
y -y1 = m(x
- x1)
Dado
que y = p, tenemos que
p -25= - 0.5x(x
- 20)
p= -0.5x +35
que
es la ecuación de demanda requerida.
|
EJERCICIOS PROPUESTOS APLICADOS A LA
ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMÍA
1.
(Ecuación
de oferta) a un
precio de $ 10 por
unidad , una
compañía proveería 1,200 unidades
de su producto , y a $ 15 por
unidad , 4,200 unidades
, determine la relación de la
oferta suponiendo que sea lineal.
2.
Se sabe
que la función
de producción p(x) de
un artículo es lineal ,
donde x es el dinero invertido . Si se invierten $10,000 se elaboran 92 artículos, si se invierten $50,500 se producen 497
artículos. Escriba la función de producción p(x).
3.
Suponga
que el costo para producir
10 unidades de un
producto es de $ 40 y el de 20
unidades es de $70 . si
el costo c está
relacionado linealmente con
el producto (q) ,
determine una ecuación
lineal que relacione c con (q) . encuentre el costo de producir 35 unidades.
4. Suponga que
los clientes demandan 40
unidades de un
producto cuando el precio
es de $12 por unidad y
25 unidades cuando el
precio es de $ cada
uno . Encontrar la ecuación
de la demanda suponiendo que es
lineal y el precio por
unidad cuando 30
unidades son requeridas.
5.
Un fabricante de escobas encuentra
que las ventas son de 10,000 unidades
a la semana cuando
el precio es de
$ 3,000 por unidad , pero las
ventas se incrementan a
1,200 unidades cuando el precio se reduce
a $2,500 por unidad. Hallar la
relación de demanda
suponiendo que es lineal.
6.
(Relación de la demanda) Un
fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las
ventas ascienden a 2000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor,
las ventas son de 2400 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo
que es lineal.
7. (Ecuación de la oferta) A un
precio de $2.50 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a $4
cada unidad, la misma empresa producirá 14,000 camisetas al mes. Determine la
ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.
8.
(Relación de la demanda) Un
fabricante de herramientas puede vender 3000
martillos al mes a $2 cada uno, mientras que sólo pueden venderse 2000
martillos a $2.75 cada uno. Determine la ley de demanda, suponiendo que es
lineal.
9.
(Ecuación de oferta) A un
precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1200 unidades de su producto,
y a $15 por unidad, 4200 unidades. Determine la relación de la oferta, suponiendo
que sea lineal.
10. (Modelo
de costo lineal) Los costos fijos por fabricar cierto artículo
son de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la
semana son de $410. Determine la relación entre el costo total y el número de
unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar
30 unidades a la semana?
FUNCIÓN
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como
una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser
mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de
sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es
el término cuadrático
bx es
el término lineal
c es
el término independiente
EJEMPLOS
1. Representa gráficamente
la función cuadrática
y =
-x² + 4x – 3
vértice
x v = − 4/ −2 = 2
y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1
V(2, 1)
Puntos
de corte con
el eje x
x² −
4x + 3 = 0
(3, 0)
(1, 0)
Puntos
de corte con
el eje y (0, −3)
 |
2.
Representa
gráficamente la función
cuadrática
y = x² +x + 1
vértice
xv = −1/ 2
yv =
(−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= ¾
V(−1/ 2, 3/ 4)
Puntos
de corte con
el eje x
x² + x + 1= 0
1² − 4 < 0 No hay
puntos de corte
con el eje x
Puntos
de corte con
el eje y (0, 1)
 |
3. Representa gráficamente la función cuadrática:y = x² + 2x + 1
vértice
x v = − 2/ 2 = −1
y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0
V(− 1, 0)
puntos de corte con el eje x
x² + 2x + 1= 0
 
coincide con el vértice : (−1, 0 )
puntos de corte con el eje y (0, 1)
|
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EJEMPLO
DE APLICACIÓN DE
FUNCIONES CUADRÁTICAS A LA ADMINISTRACIÓN Y LA
1.
(Decisiones sobre fijación de precios) La demanda mensual x
de
cierto artículo al
precio de p dólares por unidad está dada por la relación
x =1350 - 45p
El
costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es
de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por
unidad p deberá fijarse al
consumidor con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual?
SOLUCIÓN
El
costo total C (en dólares) de producir x unidades al mes es
C
=
Costos variables + Costos fijos = 5x + 2000
La
demanda x está dada por
x
=1350
-45p
Sustituyendo
este valor de x en C, resulta que
C
=5(1350
- 45p) + 2000 =8750 - 225p
El
ingreso I (en dólares) obtenido por vender x unidades a p dólares
por unidad es
I
=Precio
por unidad x Número de unidades
vendidas
= px = p(1350 -45p)
=1350p -45p2
La
utilidad U (en dólares) está dada entonces por la diferencia entre el
ingreso y el costo.
U = I - C
U = -45p2 + 1350p - (8750 - 225p)
=-45p2 + 1575p – 8750
La
utilidad U es una función cuadrática de p. Puesto que a =
- 45 < 0, la gráfica
es
una parábola que se abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el
vértice. En este caso, tenemos que
a
=-
45, b =1575 y c
= -8750
El
vértice de la parábola está dado por
En
consecuencia un precio de p = $17.50 por unidad debe fijarse al
consumidor con el propósito de obtener una máxima utilidad. Entonces la
utilidad máxima será
U= - 45(17.5)2
+ 1575(17.5) - 8750 =5031.25 o
$5031.25 al mes.
|
2.
La función
de demanda para un producto es igual p= 1,000-2q , donde
p es el precio por
unidad y donde q
es demandada por
los productores. Encontrar el
nivel de producción que maximizara el ingreso total del
producto y determinar el ingreso.
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EJERCICIOS
PROPUESTOS APLICADOS A LA ADMINISTRACIÓN
Y LA
1.
si la ganancia de
la venta de x unidades de
un producto es P: 90x-200-x2 determine:
·
El
número de unidades que
maximizará la ganancia (eje
de simetría).
·
El
valor optimo (¿máximo o mínimo?)
·
Gráfique la
función.
2.
Si en un mercado de monopólico, la función de demanda de un producto es P: 175
– 0.50x y la función ingreso es R=px, donde p es el precio y x es el número de
unidades vendidas. Determine. La función ingreso y el precio que maximizará el
ingreso.
3.
La ganancia diaria de la venta de x unidades
de un producto es P: 80x-0.4x2 -200
dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima
ganancia posible?
4. (Ingreso máximo) El
ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto
artículo está dado por R(x)=12x-0.01x2
dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el
propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo?
5.
(Utilidad máxima) La
utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de
cierto producto está dada por P(x) = 60x -x2 .Determine
el número de unidades que deben producirse y venderse con el objetivo de
maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima?
6.
(Ingresos y utilidad máximas) Una
empresa tiene costos fijos mensuales de $2000 y el costo variable por unidad de
su producto es de $25.
·
Determine la función de costo.
·
El ingreso I obtenido por vender x unidades
está dado por I(x) = 60x _-0.01x2.
Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que
maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?
· ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse
al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿Cuáles esta utilidad
máxima?
7. (Costo mínimo) El
costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de cierto
artículo es C(x) =20 -0.06x + 0.0002x2.
¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el
correspondiente costo mínimo por unidad?
8.
(Fijación del precio de un libro) Si
un editor fija el precio de un libro en $20 cada uno, venderá 10,000
ejemplares. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400
copias. ¿Qué precio debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea
máximo? ¿Cuál es el valor de este ingreso
máximo?
FUNCIONES
EXPONENCIALES
Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b >
0 y b es diferente de uno.
Crecimiento
exponencial
La
función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal,
vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es el
tiempo.
En el
crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el
valor anterior por una cantidad constante a. Donde k es el valor
inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor
por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.
Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.
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||||||||||||||||
2.
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EJEMPLOS DE
APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN Y
LA
1.
Se tiene $ 1000000 puesto a un interés compuesto del 5% a 10 años . Indicar cuál es el monto al cabo de 10 años y cuanto se genero en interés.
·
S=p(1+i)n
·
S=1000000(1+5/100)10
·
S= 1628894
·
I= s-p
·
I= 1.628.894 -1.000.000
·
I= 628894
|
2. (Inversiones) Una suma de $200 se
invierte a un interés compuesto
anual
del 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años.
Solución
En
este caso R = 5 e i = R/100 = 0.05. Después de n años,
el valor de
la
inversión es
P(1 + i)n
= 200(1.05)n
Cuando
n =10, esto es
200(1.05)10
= 200(1.628895) = 325.78
El
valor de esta inversión es por tanto $325.78.
|
3. ¿Qué es mejor para un inversionista, 12%
compuesto mensualmente
12.2%
compuesto trimestralmente?
SOLUCIÓN
Calculamos la tasa efectiva de cada una de
las dos inversiones. Para la
Primera,
i = 0.01 y k = 12, de modo que
ief = (1 + i)k
- 1 = (1.01)12 - 1 =0.126825
Para
la segunda, i =0.0305 y k = 4, de modo que
ief = (1 + i)k
- 1 = (1.0305)4 -1 =0.127696
La segunda tiene
una mayor tasa efectiva, por lo que es la mejor de las dos.
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EJERCICIOS
DE APLICACIÓN PROPUESTOS
1.
Un profesionista invierte
50,000 pesos en un banco que paga el 8% de interés anual. Si se reinvierten los
dividendos cuatrimestralmente, ¿cuánto capital tendrá en 12 años
2.
Una persona debe 6,000
pesos en su tarjeta de crédito que cobra una tasa de interés anual de 36% .si
no realiza ningún pago y el banco capitaliza los intereses trimestralmente,
cuánto deberá en 2 años?
3.
En qué se convierte al cabo
de 15 años un capital de 23000€ al 5,5% anual?
4.
(Crecimiento de ganancias) Las
ganancias de cierta compañía han ido aumentando en 12% anual en promedio entre 1975
y 1980. En 1980, fueron $5.2 millones. Suponiendo que esta tasa de crecimiento
continúe, encuentre las ganancias en 1985.
5.
(Depreciación exponencial) Una
máquina se compra en $10,000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de
compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula
V =
10,000e-0.2t
b.
Determine
la disminución porcentual del valor cada año.
FUNCIÓN
Los logaritmos
Dados dos números reales positivos, a y b (a≠1), llamamos logaritmo en
base a de b al número al que hay que elevar a para obtener b. La definición
anterior indica que: loga b=c equivale a ac =b
De la definición de logaritmo podemos deducir:
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. El logaritmo de un producto es igual a
la suma de los logaritmos de los factores.
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor
3. El logaritmo de una potencia es igual
al producto del exponente por el logaritmo de la base.
4. El logaritmo de una raíz es igual al
cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
5. Cambio de base:
EJEMPLOS
|
|
Representa
y estudia las funciones
a)
f(x)=2·log3x
Dominio=(0,+∞)
Recorrido= IR
Asíntota: x=0
Corte OX: (1,0)
Creciente
|
Recorrido= IR
Asíntota: x=0
Corte OX: (1/3,0)
Creciente
|
EJEMPLOS DE
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
DE LOGARITMOS A
LA ADMINISTRACIÓN Y LA
1. En el testamento de Benjamín
Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de
Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según
Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras.
Comprobemos si esto es cierto:
El capital final al cabo de esos
100 años será x = 1.000 · 1,05100. Para calcular esa enorme
potencia usaremos los logaritmos:
x = 1.000 · 1,05100; log x = log 1.000 + 100 · log 1,05 log x = 3 + 100 · 0,0212 = 5,12; x = 105,12 = 131.825,67 libras |
2. (Inversiones) La suma de $100 se
invierte a un interés compuesto
anual del 6%.
¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a $150?
Solución A un interés del 6%
anual, la inversión crece por un factor de 1.06 cada
año. Por tanto,
después de n años, el valor es 100(1.06)n. Igualando
esto a 150, obtenemos
100(1.06)n
=150 Ó (1.06)n = 1.5
Tomamos logaritmos
en ambos lados y simplificamos.
log (1.06)n
= n log (1.06) = log (1.5)
En consecuencia, le lleva casi 7 años a la
inversión incrementar su valor a $150.
|
3.
(Inversión) Cuando la
composición se hace de manera continua, ¿qué
tasa
nominal de interés da el mismo crecimiento en un año completo que una tasa
de
interés anual del 10%?
Solución
Una
suma P invertida a una tasa nominal de interés de R por ciento
compuesto continuamente tiene un valor Pei después de un
año, con i = R/ 100. (Tome x = 1 en la fórmula para
composición continua). Si se invierte al 10% anual, aumentaría por un factor
de 1.1 durante cada año. Por tanto, debemos hacer
Pei
=
(1.1)P ó ei =1.1
Si
tomamos logaritmos naturales en ambos miembros, obtenemos
ln(ei
) = ln(1.1)
Pero,
ln(ex ) = x, para cualquier número real x, de
modo que
i
=
ln(1.1) =0.0953
Por
tanto, R = 100i =9.53.
De modo que 10% de interés compuesto
anualmente es equivalente al crecimiento anual proporcionado por medio de una
tasa de interés nominal de 9.53% compuesto continuamente.
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
PROPUESTOS A LA ADMINISTRACIÓN Y LA
1.(Función de costo) Una compañía manufacturera encuentra
que el costo de producir x unidades por hora está dado por la fórmula C(x) = 5 +10
log(1 + 2x) Calcule:
a.
El
costo de producir 5 unidades por hora.
b.
El
costo extra por aumentar la tasa de producción de 5 a 10 unidades por hora.
c.
El
costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por hora.
2. (Publicidad y ventas) Una compañía encuentra que la cantidad
de dólares y que
se debe gastar semanalmente en publicidad para vender x
unidades de su producto está dada por :
Calcule
el gasto publicitario que se necesita para vender:
a)
100
unidades
b)
300
unidades
c)
490
unidades
3.
(Función de costo) Una compañía está ampliando sus
instalaciones y tiene opción
para elegir entre dos modelos.
Las
funciones de costos son C1(x) = 3.5 + log (2x + 1) y C2(x) = 2
+ log(60x +105) donde x es
la tasa de producción.
Encuentre
la tasa x a la cual los dos modelos tienen los mismos costos. ¿Para valores grandes de x,
cuál modelo es más barato?
4.
Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un
precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln (3x + 1).
·
Encuentre el precio de
oferta cuando el número de unidades es 33.
·
¿Cuántas unidades se
ofrecen a un precio de 300 dólares
5.
La función demanda
de un producto está dada por
6.
Digamos que la función
demanda para un producto está dada por :
- ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades?
- ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?
LIMITES
El límite
de una función es un concepto
fundamental del análisis
matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos
suficientemente cercanos a c,
independientemente de lo que ocurra en c.
LÍMITES LATERALES
El limite cuando: x x0+ ≠ x → x0-. Por lo
tanto, el limite cuando x → x0 no
existe.
El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por
lo tanto, el límite cuando x → x0 no
existe.
De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste
(derecha):
o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los
límites pueden ser escritos como:
Si los dos límites anteriores son iguales:
Entonces L se pueden referir como el límite de f(x)
en c. Dicho de otro modo,
si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.
PROPIEDADES DE LOS
LÍMITES
Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las
siguientes propiedades:
EJEMPLOS
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DERIVADAS
1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA
INCREMENTO
DE UNA FUNCIÓN
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos
que a aumenta en h, pasando al valor a +h,
entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a
la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de
cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable,
es decir:
T.V.M. [a, b] =
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA
Consideremos
un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería
Nos interesa medir la tasa instantánea,
es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:
A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a . la derivada de una
función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el
incremento de la variable tiende a 0
Si f
tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
REGLAS DE
Suma y
diferencia de funciones
Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de
la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de
sus derivadas.
Producto de una función por una
constante
Dada una función f (x) continua y
derivable y un número real , la derivada del
producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la
función.
Dada una función:
Entonces la derivada será:
Producto
de funciones
Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de
las dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más
la primera por la derivada de la segunda. Dada una función:
Entonces su derivada se calcula como:
Cociente
de funciones
Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la
segunda es distinta de cero, la derivada del cociente de la primera por la
segunda se determina con arreglo a la expresión dada a continuación.
Dada una función:
Se cumple que su derivada primera es:
(Costo marginal)
|
1.
Para el caso de la función de costo
C(x) = 0.001x3 -0.3x2+
40x+ 1000
Determine
el costo marginal como una función de x. Evalúe el costo marginal
cuando la producción está dada por x =50, x= 100 y x =
150.
SOLUCIÓN
Deseamos
evaluar C’(x). La función dada C(x) es una
combinación de potencias de x y así puede derivarse por medio de la
fórmula para las potencias que se presentó en la última sección. Obtenemos
C´(x) =
 (0.001x3 - 0.3x2
+ 40x + 1000)
=
0.001(3x2) -0.3 (2x)+ 40(1) + 0
=0.003x2 - 0.6x +40
Esta
función, el costo marginal, da el costo promedio por artículo de crecimiento
de la producción por una pequeña cantidad dado que ya se han producido x artículos.
Cuando se han producido 50 unidades, el costo marginal de los artículos extra
está dado por
C´ (50) = (0.003)(50)2 -
(0.6)(50) +40 = 7.5 -30 + 40 = 17.5
Si x = 100, el costo marginal es
C´ (100) = (0.003)(100)2
-(0.6)(100) + 40 = 30 - 60 + 40 =10
Cuando x = 150, el costo marginal
está dado por
C´ (150) = (0.003)(150)2 -
(0.6)(150) +40 =67.5 - 90 + 40 = 17.5
Informalmente
podemos decir que el costo de producir el artículo número 51 es de $17.50, el
artículo número 101 tiene un costo de $10 y el artículo número 151 cuesta
$17.50. (Afirmaciones como ésta no son lo bastante precisas, dado que
la derivada de la tasa de un incremento infinitesimalmente pequeño en la
producción, no para un incremento unitario).
|
(ingreso marginal)
|
2.
Si la función de ingreso está dada por
R(x) =10x -
0.01x2 en donde x es el número de artículos
vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x
=200.
SOLUCIÓN
Necesitamos
evaluar R´(x). Dado que R(x) es una combinación
de potencias de x, podemos usar la fórmula para las potencias,
obteniendo el resultado.
R´(x) =
(10x- 0.01x2)
=10(1) -(0.01)(2x) = 10 -0.02x
Esto
nos da el ingreso marginal cuando se vende un número arbitrario x de
artículos.
Si
x =200, obtenemos un ingreso marginal de
R´(200) = 10 -
(0.02)(200) =10 - 4 =6
Así que
cuando se venden 200 artículos, cualquier incremento pequeño en las
ventas provoca un aumento en los
ingresos de $6 por artículo.
|
(Ingreso
marginal)
|
3.
Determine el ingreso marginal cuando x =300
si
la ecuación de demanda es
x
=1000
- 100p
SOLUCIÓN
En
primer término, debemos escribir la ecuación de demanda en tal forma que
expresamos p como una función de x.
100p
=1000 - x
p
=10
- 0.01x
Así,
la función de ingreso está dada por
R(x) = xp =
x(10 -0.01x) =10x -0.01x2
Observemos
que esta función de ingreso es la misma que la del ejemplo anterior, de modo
que podemos usar el resultado del ingreso marginal:
R´(x) = 10
-0.02x
Cuando
el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por
R´(300) = 10-
(0.02)(300) =10 - 6 =4
|
(Utilidad marginal)
|
4.
La ecuación de demanda de cierto artículo es
p
+
0.1x = 80
y
la función de costo es
C(x) = 5000 +
20x
Calcule
la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también en el
caso de que se produzcan y vendan 400 unidades.
SOLUCIÓN
La
función de ingreso está dada por
R(x) =xp =
x(80 - 0.1x) =80x - 0.1x2
Por
consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x artículos
está dada por
P(x) = R(x)
- C(x)
=
(80x - 0.1x2)
-(5000 +20x)
=
60x - 01x2 – 5000
La
utilidad marginal es la derivada P´(x). Ya que P(x)
es una combinación de potencias, usamos la fórmula de las potencias para
calcular su derivada.
P´(x)
(60x - 0.1x2 -5000)
= 60- 0.2x
Si
x = 150, obtenemos P´(x) =60 -(0.2)(150) = 30. Así pues,
cuando se
producen
150 artículos, la utilidad marginal, esto es, la utilidad extra por artículo adicional cuando la producción se
incrementa en una pequeña cantidad es $30.
Cuando
x = 400, la utilidad marginal es P´(400) =60 - (0.2)(400) = -
20.
En
consecuencia, si se producen 400 unidades, un pequeño incremento en la
producción da como resultado una pérdida (esto es, una utilidad negativa) de
$20 por unidad adicional.
|
EJERCICIOS PROPUESTOS
APLICADOS A LA ADMINISTRACIÓN Y LA
1. (Precio marginal) Si la función de demanda está dada por
p =f(x), entonces dp/dx se denomina función
de precio marginal. La
ecuación de demanda de cierto producto es p = 2000 - 5x - x2. Determine el precio
marginal a un nivel de demanda de 15 unidades.
2.
(Precio marginal) La ecuación de demanda de cierto
producto es p= 25/(x+1). Determine la función de precio
marginal.
3. (Demanda marginal) Si la relación de demanda está dada
por x = f(p), entonces dx/dp se denomina la demanda
marginal. Si la ecuación de demanda de cierto producto es p2 + 2x =50, determine la demanda marginal
a un nivel de precio de p= 2. Interprete el resultado.
4.
(ingreso marginal)
si la ecuación de demanda es x+4p=100. Calcule el
ingreso marginal. R’(x)
. Calcule el
ingreso marginal. R’(x)
6.
(
utilidades marginales) el editor
de una revista descubre
que si fija
un precio de $ 1 a su
revista , vende 20.000
ejemplares al mes ; sin embargo , si el precio fijado es de $ 1.50 ,
sus ventas solo
serán por 15.000 ejemplares .
el costo
de producir cada
ejemplar es de $0.80
y tiene costos fijos
de $ 10.000 al mes . suponiendo una
ecuación de demanda
lineal , calcule su
función de utilidad
marginal y determine el
precio de la revista
que haga la
utilidad marginal igual
a cero . evalué la
utilidad misma cuando el precio es :
a.
$
1.80
b.
$
1.90
c.
$
2
7.
(ingreso marginal)Suponga que
un fabricante vende un producto a $ 2 por unidad . si
se venden q unidades
, el ingreso total
esta dado por
R=
2q .encontrar el ingreso
marginal.
8.
(Ingreso marginal) Cuando una peluquera fija una cuota de
$4 por corte de cabello, advierte que el número de clientes que atiende en una semana es de 100, en
promedio. Al elevar la tarifa a $5, el número de clientes por semana baja a 80.
Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de
clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el
precio que produce un ingreso marginal
igual a cero.
9.
(Costo marginal y costo promedio) Demuestre que si la función
de costo es de la forma C(x) =ax2 + bx +
c, entonces en el valor de x para el cual el costo marginal es
igual al costo promedio C (x), la derivada (d/dx) C
(x)es cero.
(Costo marginal y costo promedio) Demuestre que si la función
de costo es de la forma C(x) =ax2 + bx +
c, entonces en el valor de x para el cual el costo marginal es
igual al costo promedio C (x), la derivada (d/dx) C
(x)es cero.
10.
(Costo marginal y costo promedio) Pruebe que el
resultado del ejercicio 21 es válido para cualquier función de costo C(x)
que sea una función polinomial de x. (Esto es, C(x) consta
de una suma de potencias de x, donde cada potencia está multiplicada por
una constante)
CONCLUSIONES
las matemáticas aplicadas es un
campo importante en la
vida cotidiana ya que
a través
de sus diversos métodos
y herramientas le
permite adquirir destrezas y
habilidades al estudiante para
resolver problemas del mundo
real.
Muchos métodos matemáticos han resultado
efectivos en el estudio de problemas en Física, Química, Biología, Medicina,
Ciencias sociales, administración, Ingeniería, economía, Finanzas, Ecología
entre otras. Cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en
problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas
aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera",
es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor
grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las Matemáticas
mismas.
c
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